Question

已知函數,其中.
（1）當時,求函數在處的切線方程；
（2）若函數在區間(1,2)上不是單調函數,試求的取值范圍；
（3）已知,如果存在,使得函數在處取得最小值,試求的最大值．

Answer 1

（1） （2） （3）

試題分析：（1） 利用導數求切線方程,關鍵在于理解切點的三個含義,一是在切點處的導數值為切線的斜率,二是切點在曲線上,即切點坐標滿足曲線方程,三是切點在直線上,即切點坐標滿足直線方程,有時這一條件用直線兩點間斜率公式表示.因為所以,再根據點斜式寫出切線方程. （2）利用導數研究函數單調性,往往轉化為研究導函數為零時方程根的情況,本題函數在區間(1,2)上不是單調函數,就轉化為在區間(1,2)上有不相等的根,可由實根分布列充要條件,也可利用變量分離結合圖象求函數對應區域范圍,（3）已知函數最值求參數取值范圍，可從恒成立角度出發，實現等價轉化，也可分類討論求最值列等式.本題采取對恒成立較好.轉化為二次函數恒成立可從四個方面研究：一是開口方向，二是對稱軸，三是判別式，四是區間端點函數值的正負.
試題解析：（1）解:當時,,則,故 2分
又切點為,故所求切線方程為,即  4分
（2）由題意知,在區間(1,2)上有不重復的零點,
由,得,因為,所以  7分令,則,故在區間(1,2)上是增函數,所以其值域為,從而的取值范圍是    9分
（3）,
由題意知對恒成立,即對恒成立,即  ①對恒成立    11分
當時,①式顯然成立;
當時,①式可化為    ②,
令,則其圖象是開口向下的拋物線,所以      13分
即,其等價于   ③,
因為③在時有解,所以,解得,
從而的最大值為        16分