Question

（2011•鹽城二模）如圖所示，某市準備在一個湖泊的一側修建一條直路OC；另一側修建一條觀光大道，它的前一段OD是以O為頂點，x軸為對稱軸，開口向右的拋物線的一部分，后一段DBC是函數y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

），x∈[4，8]時的圖象，圖象的最高點為B（5，

8

3

3

），DF⊥OC，垂足為F．
（I）求函數y=Asin（ωx+φ）的解析式；
（II）若在湖泊內修建如圖所示的矩形水上樂園PMFE，問點P落在曲線OD上何處時，水上樂園的面積最大？

Answer 1

分析：（I）利用函數的解析式，結合函數的圖象求出A，ω，通過函數經過B，求出φ，即可求函數y=Asin（ωx+φ）的解析式；
（II）求出D（4，4），曲線OD的方程為y²=4x，（0≤x≤4）．推出矩形的面積的表達式，利用函數的導數求出面積的最大值，推出P的位置即可．

解答：解：（Ⅰ）對于函數y=Asin（ωx+φ）由圖象可知，A=

8

3

3

，ω=

2π

T

=

2π

4(8-5)

=

π

6

，
將（5，

8

3

3

），代入y=

8

3

3

sin（

π

6

x+φ）得：

5π

6

+φ=2kπ+

π

2

，k∈Z，
|φ|＜

π

2

，所以φ=-

π

3

，所以函數的解析式為y=

8

3

3

sin（

π

6

x-

π

3

）．
（Ⅱ）在y=

8

3

3

sin（

π

6

x-

π

3

）中，令x=4，得D（4，4）
從而得曲線OD的方程為y²=4x，（0≤x≤4）．
設點P（

t2

4

，t）（0≤t≤4），則矩形PMFE的面積為S=(4-

t2

4

)t，0≤t≤4．
因為S′=4-

3t2

4

，由S′=0得t=

4 3

3

，且t∈(0，

4 3

3

)時S′＞0，S遞增，
t∈(

4 3

3

，4)時S′＜0，S遞減，
所以當t=

4 3

3

，S最大，此時點P的坐標(

4

3

，

4 3

3

)．

點評：本題考查已知三角函數模型的應用問題，利用導數研究函數的單調性，由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，考查分析問題解決問題的能力．