Question

已知過點A（0，1），B（4，a）且與x軸相切的圓只有一個，求a的值及所對應的圓的方程．

Answer 1

分析：分兩種情況：（1）B點剛好為圓與x軸相切的切點，所以B在x軸上得到a=0，因為直線AB的中垂線與x=4的交點為圓心，
所以先求出中垂線方程，方法是利用中點坐標公式求出A與B的中點坐標，根據兩直線垂直時斜率乘積為-1求出斜率，然后與x=4聯立可得圓心坐標，圓心的縱坐標為半徑，得到相應圓的方程；（2）AB與x軸平行時即得到a=1，圓與x軸相切，得到AB的中垂線方程為x=2，設出圓心坐標，根據圓心到A的距離等于圓心的縱坐標求出圓心坐標，而圓的半徑為圓心的縱坐標，得到圓的方程．

解答：解：分兩種情況考慮：
（i）設圓心坐標為（x，y），當B點為切點時，B在x軸上，所以a=0．則B（4，0），所以AB的中點坐標為（2，

1

2

），直線AB的斜率為

1-0

0-4

=-

1

4

，則AB中垂線的斜率為4，所以AB中垂線的方程為y-

1

2

=4（x-2）與x=4聯立解得x=4，y=

17

2

，所以圓的方程為：（x-4）²+(y-

17

2

)2=(

17

2

)2；
（ii）當a=1時，AB與x軸平行，則AB的中垂線方程為x=2，設圓心坐標為（2，y），根據勾股定理得：y²=2²+（y-1）²，解得y=

5

2

，所以圓的方程為：（x-2）²+(y-

5

2

)2=(

5

2

)2．
綜上：當a=0時，相對應的圓的方程為：（x-4）²+(y-

17

2

)2=(

17

2

)2；當a=1時，相對應的圓的方程為：（x-2）²+(y-

5

2

)2=(

5

2

)2．

點評：此題是一道綜合題，要求學生會根據兩點坐標求其中垂線方程，利用運用圓的性質定理，會根據圓心和半徑寫出圓的標準方程．