Question

已知過點A（0，1），且方向向量為

a

=(1，k)的直線l與⊙C：（x-2）²+（y-3）²=1，相交于M、N兩點．
（1）求實數k的取值范圍；
（2）求證：

AM

•

AN

=定值；
（3）若O為坐標原點，且

OM

•

ON

=12，求k的值．

Answer 1

分析：（1）用點斜式寫出直線l的方程，由圓心到直線的距離小于圓的半徑列出不等式，解出實數k的取值范圍．
（2）由弦長公式可得 AT² =7，又 AT² =AM•AN，

AM

 與

AN

共線且方向相同，化簡

AM

•

AN

．
（3）設出M，N兩點的坐標，把直線l的方程代入圓的方程化為關于x的一元二次方程，把根與系數的
關系代入

OM

•

ON

=12 的式子進行化簡，解方程求出k的值．

解答：解：（1）∵直線l過點（0，1）且方向向量

a

=(1，k)，∴直線l的方程為y=kx+1（2分）
由

|2k-3+1|

k2+1

＜1，得

4- 7

3

＜k＜

4+ 7

3

 （4分）

（2）設⊙C的一條切線為AT，T為切點，則由弦長公式可得 AT² =7，
∴

AM

•

AN

=|

AM

||

AN

|cos0°=AT2=7，∴

AM

•

AN

為定值．（8分）
（3）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），將y=kx+1代入方程 （x-2）²+（y-3）²=1 得
（1+k²）x²-4（1+k）x+7=0，（10分）
∴x1+x2=

4(1+k )

1+k2

，x1x2=

7

1+k2

．
∴

OM

•

ON

=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1=

4k(1+k)

1+k2

+8=12，
∴

4k(1+k)

1+k2

=4，解得k=1，又當k=1時，△＞0，∴k=1（13分）

點評：本題考查直線和圓相交的性質，點到直線的距離公式，兩個向量的數量積的定義，一元二次方程根與系數的關系．