Question

【題目】已知A，B，C是拋物線W：y2=4x上的三個點，D是x軸上一點.

（1）當點B是W的頂點，且四邊形ABCD為正方形時，求此正方形的面積；

（2）當點B不是W的頂點時，判斷四邊形ABCD是否可能為正方形，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）32；（2）不可能，理由見解析.

【解析】

（1）根據正方形的性質知的坐標為，代入拋物線方程，解出，即可得到正方形的面積；

（2）先假設四邊形為正方形，設直線的方程為，曲直聯立，得到韋達定理，并依次求得中點坐標、弦長以及點的坐標和弦長，再利用，得到與等量關系①，然后利用，得到與等量關系②，聯立①②即可判定四邊形是否可能為正方形．

（1）當點是的頂點時，設與相交于點，則，

假設點在軸上方，則的坐標為，

代入拋物線方程得，此時正方形的邊長為，

所以正方形的面積為．

（2）四邊形不可能為正方形．

當點不是的頂點時，直線的斜率一定存在，設其方程為，

、坐標分別為，，，，

聯立，則，

所以，，

因此，的中點的坐標為，

，

若四邊形為正方形，則的中點也是，，

因為點在軸上，所以，所以，

代入，得，即，

所以，

化簡得，①

，

因為，所以，

化簡得，②

由①②得，，無解，

故四邊形不可能為正方形．