Question

已知函數(shù)．
（1）求的最小值；
（2）當(dāng)函數(shù)自變量的取值區(qū)間與對(duì)應(yīng)函數(shù)值的取值區(qū)間相同時(shí)，這樣的區(qū)間稱為函數(shù)的保值區(qū)間.設(shè)，試問(wèn)函數(shù)在上是否存在保值區(qū)間？若存在，請(qǐng)求出一個(gè)保值區(qū)間；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

（1）在處取得最小值．
（2）函數(shù)在上不存在保值區(qū)間,證明見解析.

解析試題分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，解得函數(shù)的減區(qū)間；
解，得函數(shù)的增區(qū)間．
確定在處取得最小值．
也可以通過(guò)“求導(dǎo)數(shù)、求駐點(diǎn)、研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、確定極值（最值）” .
（2）函數(shù)在上不存在保值區(qū)間.
函數(shù)存在保值區(qū)間即函數(shù)存在自變量的取值區(qū)間與對(duì)應(yīng)函數(shù)值的取值區(qū)間相同.因此，可以假設(shè)函數(shù)存在保值區(qū)間,研究對(duì)應(yīng)函數(shù)值的取值區(qū)間.在研究函數(shù)值取值區(qū)間過(guò)程中，要么得到肯定結(jié)論，要么得到矛盾結(jié)果.本題通過(guò)求導(dǎo)數(shù)：，明確時(shí)， ，得到所以為增函數(shù)，因此
轉(zhuǎn)化得到方程有兩個(gè)大于的相異實(shí)根，構(gòu)造函數(shù) 后知其為單調(diào)函數(shù)，推出矛盾，作出結(jié)論.
試題解析：
（1）求導(dǎo)數(shù)，得．
令，解得．                     2分
當(dāng)時(shí)，，所以在上是減函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，，所以在上是增函數(shù)．
故在處取得最小值．      6分
（2）函數(shù)在上不存在保值區(qū)間,證明如下：
假設(shè)函數(shù)存在保值區(qū)間,
由得：
因時(shí)， ，所以為增函數(shù)，所以
即方程有兩個(gè)大于的相異實(shí)根      9分
設(shè) 

因，，所以在上單增
所以在區(qū)間上至多有一個(gè)零點(diǎn)          12分
這與方程有兩個(gè)大于的相異實(shí)根矛盾
所以假設(shè)不成立，即函數(shù)在上不存在保值區(qū)間.      13分
考點(diǎn)：新定義問(wèn)題，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最（極）值，轉(zhuǎn)化與化歸思想，間接推理.