Question

已知銳角三角形ABC中，sin（A+B）=，sin（A-B）=．
（Ⅰ）求證：tanA=2tanB；
（Ⅱ）設(shè)AB=3，求AB邊上的高．

Answer 1

【答案】分析：（1）把角放在銳角三角形中，使一些運(yùn)算簡(jiǎn)單起來(lái)，本題主要考查兩角和與差的正弦公式，根據(jù)分解后的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，解方程組，做比得到結(jié)論．
（2）同角的三角函數(shù)之間的關(guān)系，換元解方程在直角三角形中，用定義求的結(jié)果
解答：（I）證明：∵sin（A+B）=，sin（A-B）=，
∴sinAcosB+cosAsinB=，sinAcosB-cosAsinB=，
∴sinAcosB=，cosAsinB=，
∴tanA=2tanB．
（2）解：∵＜A+B＜π，，∴，
即，將tanA=2tanB代入上式并整理得2tan²B-4tanB-1=0
解得，因?yàn)锽為銳角，所以，∴tanA=2tanB=2+．
設(shè)AB上的高為CD，則AB=AD+DB=，由AB=3得CD=2+
故AB邊上的高為2+．
點(diǎn)評(píng)：以銳角三角形為載體，應(yīng)用同角三角函數(shù)之間的關(guān)系，應(yīng)用兩角和與差的正弦公式，求解過(guò)程中應(yīng)用代數(shù)方法解題，構(gòu)造直角三角形用銳角三角函數(shù)解決問(wèn)題，這種問(wèn)題做起來(lái)有一定難度．