Question

已知正四棱柱中，.
（1）求證：；
（2）求二面角的余弦值；
（3）在線段上是否存在點，使得平面平面，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）（3）存在，

試題分析：（1）可證平面，從而可得。（2）（空間向量法）以為原點建立空間直角坐標系，如圖。根據邊長可得各點的坐標，從而可得各向量的坐標，根據向量垂直數量積為0可求平面的法向量，由（1）知平面，所以即為平面的法向量，先求兩法向量所成角的余弦值，但應注意兩法向量所成的角與二面角的平面角相等或互補，觀察可知此二面角為鈍角，所以此二面角的余弦值應為負數。（3）設為線段上一點,且，根據向量共線，可用表示出點坐標。分別求兩個面的法向量，兩面垂直，則兩法向量也垂直，即數量積為0，從而可得的值，若所得在內說明存在點滿足條件，否則說明不存在。
證明：（1）因為為正四棱柱，
所以平面，且為正方形.                   1分
因為平面，
所以.                                   2分
因為,
所以平面.                                      3分
因為平面,
所以.                                           4分
（2）如圖，以為原點建立空間直角坐標系.則

               5分
所以.                       
設平面的法向量.
所以 .即  6分
令，則.
所以.
由（1）可知平面的法向量為.                  7分
所以.                           8分
因為二面角為鈍二面角，
所以二面角的余弦值為.                     9分
（3）設為線段上一點,且.
因為.
所以.                 10分
即.
所以.                                    11分
設平面的法向量.
因為，
所以 .即.                     12分
令，則.
所以.                                     13分
若平面平面，則.
即，解得.
所以當時，平面平面.                14分