Question

已知點A（1，0），拋物線x²=4y的焦點為F，射線FA與拋物線相交點M，與其準線交于N，則|FM|：|MN|=______．

Answer 1

∵拋物線x²=4y的焦點為F（0，1），
∴直線AF的斜率為k=

1-0

0-1

=-1，
可得直線AF的方程為y=-（x-1），即y=-x+1．
由

y=-x+1 x2=4y

消去y，得x²+4x-4=0，解得x=-2±2

2

．
∵射線FA與拋物線相交點M，∴M的橫坐標為x_M=-2+2

2

，
又∵拋物線x²=4y的準線為y=-1，
∴聯解

y=-x+1 y=-1

，得

x=2 y=-1

，所以射線FA與拋物線的準線相交于點N（2，-1），
由此可得|FM|：|FN|=x_M：x_N=（-2+2

2

）：2=

2

-1，
∴|FM|=（

2

-1）|FN|，|FN|=（

2

+1）|FM|，
可得|MN|=|FN|-|FM|=

2

|MN|，所以|FM|：|MN|=

2

2

．
故答案為：

2

2