Question

【題目】已知.

（1）若，求的取值范圍；

（2）若，且，證明：。

Answer 1

【答案】（1）的取值范圍是；（2）見解析.

【解析】

（1）對函數進行求導，求出函數的單調性，可知函數的最小值，要想在恒成立，只需函數的最小值不小于零即可，解不等式，求出的取值范圍。

（2）通過（1）所知，函數的單調區間，由已知，可以得到兩個變量的關系，不失一般性，設可以得出，要證，即，則只需證，因為，則只需證，構造函數，對它求導，判斷單調性，只要證明出，即可證明。

（1），

當時，單調遞減；

當時，單調遞增；

當時，取最小值。

令，解得，故的取值范圍是。

(2)由（1）知，在上單調遞減，在上單調遞增，

不失一般性，設，則，

要證，即，則只需證，

因為，則只需證，

設。

則

所以在上單調遞減，從而

又由題意得

于是，即

因此.