Question

已知數列a₁，a₂，a₃，……，a₁₅，其中a₁，a₂，a₃，……，a₅是首項為1，公差為1的等差數列；a₅，a₆，a₇，……，a₁₀是公差為d(d≠0)的等差數列，a₁₀，a₁₁，……，a₁₅是公差為d²的等差數列．

(1)如果a₁₀＝20，求d；

(2)寫出a₁₅關于d的關系式，并求a₁₅的取值范圍；

(3)續寫已知數列，使得a₁₅，a₁₆，……，a₂₀是公差為d³的等差數列，……依次類推，把已知數列推廣為無窮數列．提出同(2)類似的問題((2)應當作為特例)，并進行研究，你能得到什么樣的結論？

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)a10＝5＋5d＝20，d＝3 　　(2)a15＝5＋5d＋5d2＝5(d＋)2＋，a15≥且不等于5， 　　(3)推廣為：已知數列a1，a2，a3，……，a15，a6，a7，……，a10a11，……，a15……a5n－5，a5n－4，a5n－3，……，a5n……其中a1，a2，a3，……，a5是首項為1，公差為1的等差數列；a5，a6，a7，……，a10是公差為d(d≠0)的等差數列，a10，a11，……，a15是公差為d2的等差數列，……a5n－5，a5n－4，a5n－3，……，a5n是公差為dn－1的等差數列……．寫出a5n的關系式，并求a5n的取值范圍． 　　a5n＝5＋5d＋5d2＋5d3＋…＋5dn－1 　　當d＞0時f(d)＝5＋5d＋5d2＋5d3＋…＋5dn－1顯然為增函數． 　　當d＜0時，a5n＝ 　　令f(d)＝， 　　則f'(d)＝ 　　當n為正偶數時， 　　f'(d)＝＞0， 　　當n為正奇數且n＞3時， 　　f'(d)＝， 　　f'(－)＜0，f′(－)＞0，設f'(d0)＝0的根為d0，則－＜d0＜－ 　　∴f(d)的單調減區間為(－∞，d0)，單調增區間為(d0，＋∞) 　　a5n的取值范圍是[，＋∞]且不等于5