Question

【題目】已知數列{an}的前n項和為Sn ， 向量 =（Sn ， 1）， =（2n﹣1， ），滿足條件 ∥ ，
（1）求數列{an}的通項公式，
（2）設函數f（x）=（ ）x ， 數列{bn}滿足條件b1=1，f（bn+1）= ．
①求數列{bn}的通項公式，
②設cn= ，求數列{cn}的前n項和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：由向量 =（Sn，1）， =（2n﹣1， ）， ∥ ，

可得 Sn=2n﹣1，即Sn=2n+1﹣2，

當n＞1時，an=Sn﹣Sn﹣1=（2n+1﹣2）﹣（2n﹣2）=2n，

當n=1時，a1=S1=2，滿足上式．

則有數列{an}的通項公式為an=2n，n∈N*

（2）解：①f（x）=（ ）x，b1=1，f（bn+1）= ．

可得 = =（ ） ，

即有bn+1=bn+1，可得{bn}為首項和公差均為1的等差數列，

即有bn=n；

②Cn= = ，前n項和Tn=1 +2（ ）2+…+（n﹣1）（ ）n﹣1+n（ ）n，

Tn=1（ ）2+2（ ）3+…+（n﹣1）（ ）n+n（ ）n+1，

相減可得， Tn= +（ ）2+…+（ ）n﹣1+（ ）n﹣n（ ）n+1

= ﹣n（ ）n+1，

化簡可得，前n項和Tn=2﹣

【解析】（1）運用向量共線的坐標表示，可得Sn=2n+1﹣2，再由當n＞1時，an=Sn﹣Sn﹣1 ， n=1時，a1=S1 ， 即可得到所求通項公式；（2）①運用指數的運算性質和等差數列的定義，即可得到所求通項公式；②求得Cn= = ，運用數列的求和方法：錯位相減法，結合等比數列的求和公式，化簡整理即可得到所求和．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解數列的前n項和的相關知識，掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系，以及對數列的通項公式的理解，了解如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．