Question

如圖，已知ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，PB=2，PB與平面ABCD所成的角為30°，PB與平面PCD所成的角為45°，求：
（1）PB與CD所成角的大小；
（2）二面角C-PB-D的大小．

Answer 1

分析：（1）以D為原點，以DA，DC，DP方向，分別作x，y，z軸的正半軸建立空間直角坐標系，分別求出PB與CD的方向向量，代入向量夾角公式，即可得到PB與CD所成角的大小；
（2）分別求出平面PBC與平面PBD的法向量，代入向量夾角公式，即可得到二面角C-PB-D的大小．

解答：（本小題滿分12分）
解：根據題意，可知PD=CD=1，BC=

2

，以D為原點，以DA，DC，DP方向，分別作x，y，z軸的正半軸建立空間直角坐標系：
則C（0，1，0），B（

2

，1，0），P（0，0，1）．
（1）

DC

=（0，1，0），

PB

=（

2

，1，-1），cos＜

DC

，

PB

＞=

DC • PB

| DC |•| PB |

=

1

2

，
即PB與CD所成的角為60°；
（2）由

PC

=（0，1，-1），
設

m

=（x，y，z）是平面PBC的一個法向量，則

m

•

PC

=0，

m

•

PB

=0得y=z，x=0令y=z=1得

m

=（0，1，1）．
同理可求得平面PBD的一個法向量為

n

=（1，-

2

，0），cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=-

3

3

，
因為二面角C-PB-D為銳二面角，于是二面角C-PB-D為arccos

3

3

點評：本題考查的知識點是異面直線及其所成的角，二面角的平面角及其求法，其中建立空間坐標系將線線夾角及面面夾角問題，轉化為向量夾角問題是解答本題的關鍵．解答中易忽略二面角C-PB-D為銳二面角，而錯解為二面角C-PB-D為arccos（-

3

3

）．