Question

如圖，已知ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD，BF⊥平面ABCD，且AB=FB=2DE．
（Ⅰ）求證：平面AEC⊥平面AFC；
（Ⅱ）求直線EC與平面BCF所成的角；
（Ⅲ）問在EF上是否存在一點M，使三棱錐M-ACF是正三棱錐？若存在，試確定M點的位置；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（I）以D為坐標原點，DA，DC，DE分別為X，Y，Z軸正言論自由建立空間直角坐標系，分別求出各點坐標，進而求出平面AEC和平面AFC的法向量的坐標，代入向量夾角公式，根據兩個法向量的數量積為0，即可得到平面AEC⊥平面AFC；
（II）求出直線EC的方向向量及平面BCF的法向量，代入向量夾角公式，即可得到直線EC與平面BCF所成的角；
（Ⅲ）在EF上存在滿足FM=2ME一點M，使M-ACF是正三棱錐，由已知可得ACF是一個正三角形，只須M在平面ACF上的投影，為三角形ACF的中心即可．

解答：證明：（I）建立如圖坐標系，令AB=FB=2DE=2
∴D（0，0，0），E（0，0，1），A（2，0，0），C（0，2，0），F（2，2，2）
∴

AE

=(-2，0，1)，

EC

=(0，2，-1)，

AF

=(0，2，2)，

FC

=(-2，0，-2)
設

m

為面AEC法向量 

m

=(x1，y1，z1)
則

-2x1+z1=0 2y1-z1=0

⇒

m

=(1，1，2)，
設

n

為面AFC法向量 

n

=(x2，y2，z2)
則

2y2+2z2=0 -2x2-2z2=0

⇒

n

=(1，1，-1)
∴cos＜

m

•

n

＞=

1+1-2

4 • 3

=0
∴

m

⊥

n

．
∴面AEC⊥面AFC．
（Ⅱ）∵

EC

=(0，2，-1)，

FC

=(-2，0，-2)，

FB

=(0，0，-2)
設平面FBC的法向量為

v

=（a，b，c）
則

v

⊥

FC

，且

v

⊥

FB

，
即

-2a-2c=0 -2c=0

，令b=1
則

v

=（0，1，0）
設直線EC與平面BCF所成的角為θ
則sinθ=

| v • EC |

| v |•| EC |

=

2

5

=

2 5

5

即直線EC與平面BCF所成的角為arcsin

2 5

5

（Ⅲ）在EF上存在滿足FM=2ME一點M，使M-ACF是正三棱錐
作法：題意知△ACF是正三角形，
頂點M在ACF上的射影是△ACF的中心N
正方形的中心（即AC與BD的交點）為O，
則點N一定在OF上，且FN=2ON，
在平面EOF中過N作NM∥OE交EF于點M，
則該點為所求

點評：本題考查的知識點是平面與平面垂直的判定，棱錐的結構特征，直線與平面所成的角，其中建立空間坐標系，將直線與平面的關系轉化為向量的夾角問題，是解答本題的關鍵．