Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為，左、右頂點分別為為直徑的圓O過橢圓E的上頂點D，直線DB與圓O相交得到的弦長為．設點，連接PA交橢圓于點C．

(I)求橢圓E的方程；

(II)若三角形ABC的面積不大于四邊形OBPC的面積，求t的最小值．

Answer 1

【答案】(1) ;(2) .

【解析】試題分析:(1) 由題意,則圓的方程為,又，直線的方程為，直線與圓相交得到的弦長為，則進而可得橢圓的方程.(2) 設直線的方程為，聯立直線PA和橢圓方程,可得點的坐標是，故直線的斜率為， ，所以.將線段BC,OP的長度用t來表示,則 ， ，所以，整理得，又， ，所以.

試題解析:（Ⅰ）因為以為直徑的圓過點,所以,則圓的方程為,

又,所以，直線的方程為，直線與圓相交得到的

弦長為，則所以，

所以橢圓的方程為.

（Ⅱ）設直線的方程為，

由

整理得，

解得： ， ，則點的坐標是，

故直線的斜率為，由于直線的斜率為，

所以 ，所以.

， ，

所以，

，所以，

整理得，又， ，所以.