Question

已知是雙曲線上一點，、是其左、右焦點，的三邊長成等差數列，且，則雙曲線的離心率等于

A．

B．

C．

D．

Answer 1

D

試題分析：由題意，可根據雙曲線的定義及題設中三邊長度成等差數列得出方程|PF₁|-|PF₂|=4與2|PF₁|=|PF₂|+2c，由此兩方程可解出|PF₁|=2c-4，|PF₂|=2c-8，再由∠F₁ P F₂=120°，由余弦定理建立關于c的方程，解出c的值，即可由公式求出離心率的值. 解：由題，不妨令點P在右支上，如圖，則有,|PF₁|-|PF₂|=4 ①,2|PF₁|=|PF₂|+2c  ②,由①②解得|PF₁|=2c-4，|PF₂|=2c-8,又∠F₁ P F₂=120°，由余弦定理得,4c²=（2c-4）²+（2c-8）²+（2c-4）×（2c-8）,解得，c=7或c=2（舍）,又a=2，故e=故答案為 D
點評：本題考查雙曲線的簡單性質及等差數列的性質，解題的關鍵是熟練掌握基礎知識且能靈活選用基礎知識建立方程求參數，本題考查了方程的思想及轉化的思想