Question

【題目】一裝有水的直三棱柱容器（厚度忽略不計），上下底面均為邊長為5的正三角形，側棱為10，側面水平放置，如圖所示，點， ， ， 分別在棱， ， ， 上，水面恰好過點， ， ， ，且．

（1）證明： ；

（2）若底面水平放置時，求水面的高．

Answer 1

【答案】(1)見解析(2)

【解析】試題分析：（1）直三棱柱容器側面水平放置，所以平面平面，由面面平行性質得．（2）當底面ABC水平放置時，水的形狀為四棱柱形，由已知條件求出水的體積，由于是三棱柱形容器，故水的體積可以用三角形的面積直接表示出，不必求三角形的面積．

（1）證明：因為直三棱柱容器側面水平放置，

所以平面平面，

因為平面平面，平面平面，

所以．

（2）解；當側面水平放置時，可知液體部分是直四棱柱，

其高即為直三棱柱容器的高，即側棱長10.

由（I）可得，又，

所以.

當底面水平放置時，設水面的高為，由于兩種狀態下水的體積相等，

所以，即，

解得.