Question

 設曲線Ｃ：的離心率為，右準線與兩漸近線交于Ｐ，Ｑ兩點，其右焦點為Ｆ，且△PQF為等邊三角形。
（1）求雙曲線C的離心率；
（2）若雙曲線C被直線截得弦長為，求雙曲線方程；
（3）設雙曲線C經過，以F為左焦點，為左準線的橢圓的短軸端點為B，求BF 中點的軌跡N方程。

Answer 1

（1）2
（2）或
（3）（或）

⑴如圖：易得P                           
設右準線與軸的交點為M，
∵△PQF為等邊三角形
∴|MF|=|PM|                                   
∴
化簡得：                                       
∴
∴            
⑵ 由⑴知：
∴雙曲線方程可化為：，即   
聯列方程：
消去得：
由題意：   （*）                           
設兩交點A，B
則
∴|AB|==
化簡得：，即
解得：或，均滿足（*）式              
∴ 或
∴所求雙曲線方程為：或   
⑶由⑴知雙曲線C可設為：
∵其過點A     ∴
∴雙曲線C為：                          
∴其右焦點F，右準線：
設BF的中點N，則B               
由橢圓定義得：（其中為點B到的距離）
∴
化簡得：
∵點B是橢圓的短軸端點，故
∴BF的中點的軌跡方程是：（或）