Question

設:的準線與軸交于點,焦點為;橢圓以為焦點,離心率.設是的一個交點.

(1)當時,求橢圓的方程.
(2)在(1)的條件下,直線過的右焦點,與交于兩點,且等于的周長,求的方程.
(3)求所有正實數(shù),使得的邊長是連續(xù)正整數(shù).

Answer 1

(1)的方程為.(2)的方程為或.（3）

試題分析：(1)已知焦點，即可得橢圓的故半焦距為,又已知離心率為，故可求得半長軸長為2,從而知橢圓的方程為.(2)由(1)可知的周長，即等于6. 設的方程為代入，然后利用弦長公式得一含的方程，解這個方程即得的值，從而求得直線的方程.(3)由得.根據(jù)題設，將的三邊用表示出來，再根據(jù)的邊長是連續(xù)正整數(shù)，即可求得的值.
試題解析：(1)由條件,是橢圓的兩焦點,故半焦距為,再由離心率為知半長軸長為2,從而的方程為,其右準線方程為.
(2)由(1)可知的周長.又:而.
若垂直于軸,易得,矛盾,故不垂直于軸,可設其方程為,與方程聯(lián)立可得,從而
,
令可解出,故的方程為或.
(3)由得.設，由于點P在橢圓上，所以；由點P在拋物線上知，，所以，，所以，.又.由此可得，若的邊長是連續(xù)正整數(shù),則，解之得，其對應的三邊為5，6，7.