Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側棱AA₁⊥平面ABC,△ABC為正三角形，且側面AA₁C₁C是邊長為2的正方形,E是的中點,F在棱CC₁上。

（1）當CF時，求多面體ABCFA₁的體積；
（2）當點F使得A₁F+BF最小時，判斷直線AE與A₁F是否垂直，并證明的結論。

Answer 1

(1) ;(2) ，證明詳見解析

試題分析：（1）此多面體是以為底面，以B為頂點的四棱錐，而且，因為△ABC為正三角形，所以△ABC的AC邊上的高即為此四棱錐的高，底面是直角梯形，所以利用錐體體積公式即可求得其體積。(2)把立體圖展成平面圖后，兩點之間直線最短，連接交與點F，此時A₁F+BF最小，分析可知F為的中點。過點作交于，則是的中點，此時只需判斷AE與EG是否垂直即可。求出三角形AEG三邊長即可得證，詳見解析。
試題解析：解：（Ⅰ）
由已知可得的高為且等于四棱錐的高.
，即多面體的體積為        5分
（Ⅱ）將側面展開到側面得到矩形,連結,交于點,此時點使得最小.此時平行且等于的一半,為的中點.   7分

過點作交于，則是的中點，.
過點作交于，則
又于是在中，
在中，
在中，， ∴              13分