Question

已知向量

m

=（2，-1），

n

=（sin

A

2

，cos（B+C）），A、B、C為△ABC的內角的內角，其所對的邊分別為a，b，c
（1）當

m

•

n

取得最大值時，求角A的大小；
（2）在（1）的條件下，當a=

3

時，求b²+c²的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由兩向量的坐標，利用平面向量的數量積運算列出關系式，利用誘導公式及二倍角的余弦函數公式化簡，整理后得到關于sin

A

2

的二次函數，由A的范圍求出

A

2

的范圍，利用正弦函數的圖象與性質得出此時sin

A

2

的范圍，利用二次函數的性質即可求出

m

•

n

取得最大值時A的度數；
（2）由a及sinA的值，利用正弦定理表示出b與c，再利用三角形的內角和定理用B表示出C，將表示出的b與c代入b²+c²中，利用二倍角的余弦函數公式化簡，整理后利用兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，由B的范圍求出這個角的范圍，利用正弦函數的圖象與性質求出此時正弦函數的值域，即可確定出b²+c²的取值范圍．

解答：解：（1）∵

m

=（2，-1），

n

=（sin

A

2

，cos（B+C）），
∴

m

•

n

=2sin

A

2

-cos（B+C）=2sin

A

2

+cosA=2sin

A

2

+（1-2sin²

A

2

）=-2（sin

A

2

-

1

2

）²+

3

2

，
∵0＜A＜π，∴0＜

A

2

＜

π

2

，
∴sin

A

2

=

1

2

，即A=

π

3

時，

m

•

n

取得最大值；
（2）∵a=

3

，sinA=

3

2

，
∴由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=

3

3 2

=2，
∴b=2sinB，c=2sinC，
∵C=π-（A+B）=

2π

3

-B，
∴b²+c²=4sin²B+4sin²C=4sin²B+4sin²（

2π

3

-B）
=4[

1-cos2B

2

+

1-cos( 4π 3 -2B)

2

]
=4（1-

cos2B+cos 4π 3 cos2B+sin 4π 3 sin2B

2

）
=4+

3

2

sin2B-

1

2

cos2B
=4+2sin（2B-

π

6

），
∵0＜B＜

2π

3

，∴-

π

6

＜2B-

π

6

＜

7π

6

，
∴-

1

2

＜sin（2B-

π

6

）≤1，
∴3＜b²+c²≤6，
則b²+c²的取值范圍為（3，6]．

點評：此題考查了正弦定理，平面向量的數量積運算，正弦函數的定義域與性質，以及三角函數的恒等變形，熟練掌握正弦定理是解本題的關鍵．