Question

已知向量m=(2x-2，2-

3

y)，n=(

3

y+2，x+1)，且m∥n，

OM

=(x，y)（O為坐標原點）．
（1）求點M的軌跡C的方程；
（2）是否存在過點F（1，0）的直線l與曲線C相 交于A、B兩點，并且曲線C存在點P，使四邊形OAPB為平行四邊形？若存在，求出平行四邊形OAPB的面積；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用向量共線的條件，建立方程，化簡可得點M的軌跡C的方程；
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設l：x=my+1，代入橢圓方程，消元可得（2m²+3）y²+4my-4=0，利用韋達定理表示，假設存在點P，使四邊形OAPB為平行四邊形，其充要條件為

OP

=

OA

+

OB

，從而可得P的坐標，代入橢圓方程，利用A，B在橢圓上，可求m的值，進而可求平行四邊形OAPB的面積，即可得到結論．

解答：解：（1）∵向量

m

=(2x-2，2-

3

y)，

n

=(

3

y+2，x+1)，且

m

∥

n

∴（2x-2）（x+1）-（2-

3

y）(

3

y+2)=0
化簡可得，點M的軌跡C的方程為

x2

3

+

y2

2

=1；
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由題意知l的斜率一定不為0，故不妨設l：x=my+1，代入橢圓方程，消元可得（2m²+3）y²+4my-4=0
∴y₁+y₂=-

4m

2m2+3

，y₁y₂=-

4

2m2+3

假設存在點P，使四邊形OAPB為平行四邊形，其充要條件為

OP

=

OA

+

OB

∴P（x₁+x₂，y₁+y₂）
∴

(x1+x2)2

3

+

(y1+y2)2

2

=1
∴2

x

2 1

+3

y

2 1

+2

x

2 2

+3

y

2 2

+4x₁x₂+6y₁y₂=6
∵A，B在橢圓上，∴2

x

2 1

+3

y

2 1

=6，2

x

2 2

+3

y

2 2

，=6
∴2x₁x₂+3y₁y₂=-3
∵y₁+y₂=-

4m

2m2+3

，y₁y₂=-

4

2m2+3

∴m=±

2

2

當m=

2

2

時，y₁=-

2

，y₂=

2

2

，∴x₁=0，x₂=

3

2

∴

OA

=(0，-

2

)，

OB

=(

3

2

，

2

2

)
∴cos∠AOB=

OA • OB

| OA || OB |

=-

2 11

∴sin∠AOB=

3

11

∴平行四邊形OAPB的面積為|

OA

||

OB

|sin∠AOB=

3

2

2

當m=-

2

2

時，同理可得平行四邊形OAPB的面積為

3

2

2

故存在存在點P，使四邊形OAPB為平行四邊形．

點評：本題考查軌跡方程，考查向量知識的運用，考查直線與橢圓的位置關系，考查三角形面積的計算，確定直線的方程是關鍵．