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精英家教網(wǎng) > 高中數(shù)學 > 題目詳情

（本小題滿分13分）已知橢圓的中心在原點O，短軸長為

，其焦點F（c，0）（c＞0）對應的準線l與x軸交于A點，|OF|=2|FA|，過A的直線與橢圓交于P、Q兩點.
（1）求橢圓的方程；（2）若

，求直線PQ的方程；（3）設

，過點P且平行于準線l的直線與橢圓相交于另一點M. 求證F、M、Q三點共線.

（1）

（2）

（1）由題意，設橢圓的方程為：

由已知得

，解得

橢圓的方程為：

（2）由（1）可得，準線l的方程為：

設直線PQ的方程為：

由方程組

依題意

，則

①

②
由直線PQ的方程得

，

③
又

④
由①②③④得

，直線PQ的方程為

………………8分
（3）證明：

由題意可得方程組

而

，又∵直線FM、直線FQ有公共點F 故F、M、Q三點共線.

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的頂點，直線

：

經(jīng)過橢圓的一個焦點．⑴求橢圓的方程；⑵拋物線

經(jīng)過橢圓的兩個焦點，與直線

相交于

、

，試將線段

的長

表示為

的函數(shù)．

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(a>b>0)的左、右焦點，A為右頂點，P為橢圓c₁上任意一點，且

最大值的取值范圍是[c²,3c²]，c²=a²-b².（1）求橢圓c₁離心率e的取值范圍；（2）設雙曲線c₂以橢圓c₁焦點為頂點，頂點為焦點，B是雙曲線c₂在第一象限上任意一點，當橢圓c₁離心率e取得最小值時，問是否存在正常數(shù)λ使∠BAF₁=λ∠BF₁A恒成立？若存在，求出λ值；若不存在，請說明理由.

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時,其離心率為

,此類橢圓被稱為“黃金橢圓”.類比“黃金橢圓”,可推算出”黃金雙曲線”的離心率e等于 ▲

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點P到x軸的距離比它到點（0，1）的距離小1，稱點P的軌跡為曲線C，點M為直線l：y=-m（m＞0）上任意一點，過點M作曲線C的兩條切線MA，MB，切點分別為A，B．
（1）求曲線C的軌跡方程；
（2）當M的坐標為（0，-l）時，求過M，A，B三點的圓的標準方程，并判斷直線l與此圓的位置關系；
（3）當m變化時，試探究直線l上是否存在點M，使MA⊥MB？若存在，有幾個這樣的點，若不存在，請說明理由．

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如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓E：

=1(a＞b＞0)的焦距為2，且過點(

，

)．
（1）求橢圓E的方程；
（2）若點A，B分別是橢圓E的左、右頂點，直線l經(jīng)過點B且垂直于x軸，點P是橢圓上異于A，B的任意一點，直線AP交l于點M．
（ⅰ）設直線OM的斜率為k₁，直線BP的斜率為k₂，求證：k₁k₂為定值；
（ⅱ）設過點M垂直于PB的直線為m．求證：直線m過定點，并求出定點的坐標．