Question

【題目】在直角坐標(biāo)系中，圓C1：x2+y2=1經(jīng)過伸縮變換 后得到曲線C2以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸，并在兩種坐標(biāo)系中取相同的單位長度，建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為cosθ+2sinθ=
（1）求曲線C2的直角坐標(biāo)方程及直線l的直角坐標(biāo)方程；
（2）在C2上求一點M，使點M到直線l的距離最小，并求出最小距離．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ 后得到曲線C2，

∴ ，代入圓C1：x2+y2=1得： ，

故曲線C2的直角坐標(biāo)方程為 ；

直線l的極坐標(biāo)方程為cosθ+2sinθ= ．

即ρcosθ+2ρsinθ=10，即x+2y﹣10=0，

（2）將直線x+2y﹣10=0平移與C2相切時，則第一象限內(nèi)的切點M滿足條件，

設(shè)過M的直線為x+2y+C=0，

則由 得： x2+ Cx+ C2﹣36=0，

由△=（ C）2﹣4× ×（ C2﹣36）=0得：C=± ，

故x= ，或x=﹣ ，（舍去），

則y= ，

即M點的坐標(biāo)為（ ， ），

則點M到直線l的距離d= =

【解析】(1）圓經(jīng)過伸縮變換后得到的是橢圓，本題關(guān)鍵在于將變?yōu)?/span>帶入圓的方程從而得出結(jié)果，極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程需要用到極化直公式
（2）必需要求出點M的坐標(biāo)，而滿足條件的點M 是直線x+2y+C=0與橢圓的切點，從而聯(lián)立方程組求出點M的坐標(biāo)