Question

A 任意a，b∈R，定義運算a*b=

ab，ab≤0 - a b ，ab＞0

，則f（x）=x*lnx的最大值為

0

B 對于函數①f（x）=4x+

1

x

-5；②f（x）=|log₂x|-(

1

2

)x；③f（x）=cos（x+2）-cosx；
命題甲：f（x）在區間（1，2）上是增函數；
命題乙：f（x）在區間（0，+∞）上恰有兩個零點x₁，x₂，且x₁x₂＜1．
能使命題甲、乙均為真命題的函數序號是

①②

．

Answer 1

分析：A：函數f（x）的取值與自變量x與1的大小有關，且其定義域為（0，+∞），所以分別討論x＞1和0＜x≤1時函數的取值范圍，即可比較得函數f（x）的最大值；
B：函數①可利用導數證明其在（1，2）上是增函數，利用函數在（0，+∞）上的單調性和極值，可證明f（x）在區間（0，+∞）上恰有兩個零點x₁，x₂，且兩零點均在區間（0，1）上，從而符合條件；函數②可利用對數函數和指數函數的單調性判斷其在（1，2）上是增函數，再利用數形結合判斷f（x）在區間（0，+∞）上恰有兩個零點x₁，x₂，并利用指數函數的單調性證明x₁x₂＜1．函數③顯然不符合命題乙的要求

解答：解：A：當x＞1時，lnx＞0，f（x）=x*lnx=-

x

lnx

＜0，
當0＜x≤1時，lnx≤0，f（x）=x*lnx=xlnx≤0  （當且僅當x=1時取等號）
∴f（x）=x*lnx的最大值為0
故答案為 0
B：①f′（x）=4-

1

x2

=

(2x+1)(2x-1)

x2

∴f（x）=4x+

1

x

-5在（0，

1

2

）上為減函數，在（

1

2

，+∞）上為增函數
而f（

1

2

）=2+2-5=-1＜0，f（

1

8

）=

1

2

+8-5＞0，f（1）=4+1-5=0，f（2）=8+

1

2

-5＞0
∴函數f（x）在區間（0，+∞）上恰有兩個零點x₁，x₂，且兩根均在區間（0，1）上，
∴函數f（x）在區間（1，2）上是增函數且在區間（0，+∞）上恰有兩個零點x₁，x₂，且x₁x₂＜1．①符合題意
②∵當x∈（1，2）時，log₂x＞0，
∴f（x）=log₂x-(

1

2

)x，y=log₂x和y=-(

1

2

)x在（1，2）上均為增函數，
∴函數f（x）在區間（1，2）上是增函數，
畫出函數y=|log₂x|，和y=(

1

2

)x的圖象如圖：
可知f（x）在區間（0，+∞）上恰有兩個零點x₁，x₂，且設x₁＜x₂，
∴|log₂x₁|＞|log₂x₂|，
∴-log₂x₁＞log₂x₂，
即log₂x₁+log₂x₂＜0，∴x₁x₂＜1
∴函數f（x）在區間（0，+∞）上恰有兩個零點x₁，x₂，且x₁x₂＜1
②符合題意
③由于y=cos（x+2）與y=cosx在（0，+∞）上有無數個交點
f（x）=cos（x+2）-cosx在（0，+∞）上有無數個零點，
③不符合題意
故答案為①②

點評：本題綜合考查了對新定義函數的理解和運用，分段函數求最值的方法，函數單調性的判斷方法，函數零點個數的判斷方法及其證明，有一定難度