【題目】已知橢圓
的右焦點為
，原點為
，橢圓
的動弦
過焦點且不垂直于坐標軸，弦的中點為
，過且垂直于線段的直線交直線
于點
．
（1）證明：
三點共線；
（2）求
的最大值．
【答案】(1)證明見解析；(2)
.
【解析】試題分析：（1）由題意得右焦點
的坐標為
，設
所在直線為：
，且
，聯立直線與橢圓的方程，結合韋達定理得
，根據弦的中點為
，得點的坐標，從而求出
所在直線方程，再根據
垂直于線段，可得所在的直線方程，即可求得點
的坐標，進而通過點的坐標滿足所在直線方程即可證出
三點共線；（2）由（1）及弦長公式可得
，再根據兩點之間的距離公式可得
，結合二次函數的圖象及性質即可求出
的最大值．
試題解析：（1）顯然橢圓
的右焦點的坐標為，
設所在直線為：，且．
聯立方程組：
，得：
；
其中，
點的坐標為
所在直線方程為：
．
所在的直線方程為：
，
聯立方程組：
，得點的坐標為
，
點的坐標滿足直線的方程，故三點共線；
（2）由（1）得：
；
由點的坐標為，
，
所以
，
顯然
，
故當
，即
時，取得最大值．
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】交管部門為宣傳新交規舉辦交通知識問答活動，隨機對該市
歲的人群抽樣了
人，回答問題統計結果如圖表所示：
分組 | 回答正確的人數 | 回答正確的人數占本組的頻率 | |
第 |
|
|
|
第 |
|
|
|
第 |
|
|
|
第 |
|
|
|
第 |
|
|
|
（1）分別求出
，
，
，
的值；
（2）從第
，
，
組回答正確的人中用分層抽樣方法抽取
人，則第，，組每組應各抽取多少人？
（3）在（2）的前提下，決定在所抽取的人中隨機抽取人頒發幸運獎，求：所抽取的人中至少有一個第組的人的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某二手車交易市場對某型號二手汽車的使用年數
與銷售價格
（單位：萬元/輛）進行整理，得到如下的對應數據：
使用年數 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 |
售價 | 16 | 13 | 9.5 | 7 | 4.5 |
（1）試求關于
的回歸直線方程；（參考公式：
，
.）
（2）已知每輛該型號汽車的收購價格為
萬元，根據（1）中所求的回歸方程，預測為何值時，銷售一輛該型號汽車所獲得的利潤
最大？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】選修4-4：坐標系與參數方程
已知直角坐標系中動點
，參數
，在以原點為極點、
軸正半軸為極軸所建立的極坐標系中，動點
在曲線
：
上.
（1）求點
的軌跡
的普通方程和曲線的直角坐標方程；
（2）若動點的軌跡和曲線有兩個公共點，求實數
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】橢圓
（
）的左、右焦點分別為
，
，過作垂直于
軸的直線
與橢圓
在第一象限交于點
，若
，且
.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）
，
是橢圓
上位于直線兩側的兩點.若直線
過點
，且
，求直線的方程.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】以原點
為極點，
軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線
的極坐標方程為：
，在平面直角坐標系
中，直線
的方程為
（
為參數）．
（1）求曲線和直線的直角坐標方程；
（2）已知直線交曲線于
，
兩點，求，兩點的距離．
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