Question

【題目】已知圖一是四面體ABCD的三視圖，E是AB的中點，F是CD的中點．
（1）求四面體ABCD的體積；
（2）求EF與平面ABC所成的角．

Answer 1

【答案】
（1）解：由三視圖可知AD⊥平面BCD，BD⊥CD，

AD=1，CD=BD=2，

∴四面體ABCD的體積V= = =

（2）解：∵E是AB的中點，F是CD的中點，

∴E到平面BCD的距離為 AD= ，S△BCF= S△BCD= =1，

∴VE﹣BCF= = = ．

由勾股定理得AB=AC= ，BC=2 ，∴△ABC的BC邊上的高為 = ，

∴S△ABC= = ，∴S△BCE= S△ABC= ，

設F到平面ABC的距離為h，則VF﹣BCE= = ，

又VE﹣BCF=VF﹣BCE，∴ = ，解得h= ．

連結DE，則DE= AB= ，∴EF= = ，

設EF與平面ABC所成的角為θ，則sinθ= = ．

∴EF與平面ABC所成的角為arcsin

【解析】（1）根據三視圖得出棱錐的結構特征和棱長，代入體積公式計算；（2）通過VE﹣BCF=VF﹣BCE得出F到平面ABC的距離，利用線面角的定義即可得出線面角的正弦值，從而得出所求線面角的大小．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解空間角的異面直線所成的角的相關知識，掌握已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則．