Question

已知函數y=x³+3ax²+3bx+c在x=2處有極值，且其圖象在x=1處的切線與直線6x+2y+5=0平行．
（1）求函數的單調區間；  
（2）求函數的極大值與極小值的差．

Answer 1

分析：（1）根據極值點是導函數對應方程的根，可知x=2為y′=0的根，結合導數的幾何意義有k=y′|_x=1，列出關于a，b的方程組，求解可得到y的解析式，令y′＞0和y′＜0，即可求得函數的單調區間； 
（2）根據（1）可得y′=0的根，再結合單調性，即可得到函數的極大值與極小值，從而求得答案．

解答：解：（1）∵函數y=x³+3ax²+3bx+c，
∴y'=3x²+6ax+3b，
∵函數y=x³+3ax²+3bx+c在x=2處有極值，
∴當x=2時，y′=0，即12+12a+3b=0，①
∵函數圖象在x=1處的切線與直線6x+2y+5=0平行，
∴k=y′|_x=1=3+6a+3b=-3，②
聯立①②，解得a=-1，b=0，
∴y=x³-3x²+c，則y'=3x²-6x，
令y'=3x²-6x＞0，解得x＜0或x＞2，
令y'=3x²-6x＜0，解得0＜x＜2，
∴函數的單調遞增區間是（-∞，0），（2，+∞），單調遞減區間是（0，2）；
（2）由（1）可知，y'=3x²-6x，
令y′=0，即3x²-6x=0，解得x=0，x=2，
∵函數在（-∞，0）上單調遞增，在（0，2）上單調遞減，在（2，+∞）上單調遞增，
∴函數在x=0時取得極大值c，在x=2時取得極小值c-4，
∴函數的極大值與極小值的差為c-（c-4）=4．

點評：本題考查了導數的幾何意義，導數的幾何意義即在某點處的導數即該點處切線的斜率，解題時要注意運用切點在曲線上和切點在切線上．考查了利用導數研究函數的單調性，對于利用導數研究函數的單調性，注意導數的正負對應著函數的單調性．考查了利用導數研究函數的極值，求函數極值的步驟是：先求導函數，令導函數等于0，求出方程的根，確定函數在方程的根左右的單調性，根據極值的定義，確定極值點和極值．