Question

【題目】已知函數．

（1）求函數的極值．

（2），若不等式在上恒成立，求的最大值．

（3）是否存在實數，使得函數在上的值域為？如果存在，請給出證明；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）極大值沒有極小值；（2）最大值為；（3）存在，見解析

【解析】

（1）先求出，令，再列表討論的單調區間，進而可求出函數的極值；（2）根據不等式構造函數，求導并判斷單調性，進而可求出的最大值；

（3）由（1）知，當時，，得，結合函數的單調性可猜想，存在實數符合題意，其中，為的圖象與直線在上的交點的橫坐標，再證明在上只有一個實數解即可．

（1），其定義域為，

求導得．

令，得．

的關系列表如下：

		1
	+	0
	↗	極大值	↘

因此，當時，取得極大值沒有極小值．

（2），

因為在上恒成立，

所以在上恒成立，

設，

則原問題轉化為在上恒成立．

，

令，解得．

的關系列表如下：

	+	0
	↗	極大值	↘

所以只需，故的最大值為．

（3）存在實數，滿足題意.

證明如下：

由（1）知，當時，，

所以，即，注意到在上單調遞減，

結合函數的單調性可猜想，存在實數符合題意，其中，為的圖象與直線在上的交點的橫坐標．

故只需證明方程在上只有一個實數解．

令，則，

令，得，因為，所以只有成立.

的關系列表如下：

	+	0
	↗	極大值	↘

因為，所以當時，，

又，

所以存在，使得，滿足，

因為函數在上單調遞減，所以方程在上只有一個實數解．

綜上所述，存在實數，使得函數在上的值域為．