Question

對于函數f（x）=x³+ax²-x+1的極值情況，4位同學有下列說法：甲：該函數必有2個極值；乙：該函數的極大值必大于1；丙：該函數的極小值必小于1；丁：方程f（x）=0一定有三個不等的實數根． 這四種說法中，正確的個數是（　�。�

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個

Answer 1

分析：f′（x）=3x²+2ax-1，顯然，判別式（2a）²-4×3×（-1）=4a²+12＞0，故f′（x）有兩個不相等的零點x₁，x₂，且一正一負，不妨設0＜x₁＜x₂．f（x）=x³+ax²-x+1圖象必過點（0，1），函數f（x）=x³+ax²-x+1在（-∞，x₁）上遞增，（x₁，x₂）上遞減，（x₂，+∞）上遞增，可畫出函數的圖象，可得答案．

解答：解：f（x）=x³+ax²-x+1，則f′（x）=3x²+2ax-1，顯然，判別式（2a）²-4×3×（-1）=4a²+12＞0，
故f′（x）有兩個不相等的零點x₁，x₂，且一正一負，不妨設x₁＜0＜x₂．又f（x）=x³+ax²-x+1圖象必過點（0，1）
二次函數f′（x）=3x²+2ax-1，開口向上，且在（-∞，x₁）上為正，（x₁，x₂）上為負，（x₂，+∞）上為正，
即函數f（x）=x³+ax²-x+1在（-∞，x₁）上遞增，（x₁，x₂）上遞減，（x₂，+∞）上遞增．
由極值的定義可知：函數f（x）必有兩個極值點，且x=x₁處是極大值點，x=x₂處是極小值點．
由以上性質作函數f（x）=x³+ax²-x+1的圖象
或
由圖1，圖2可知：甲正確；乙正確；丙正確；丁不正確．
故選C．

點評：本題為函數極值的問題，利用導數研究函數的性質，進而得出函數的圖象是解決問題的關鍵，屬基礎題．