Question

【題目】已知．

（1）若關于的方程在上恒成立，求的值；

（2）證明：當時， ．

Answer 1

【答案】（1）;（2）見解析

【解析】試題分析：（1）令，討論的取值，只需即可；

（2）由（1）知時， ，即恒成立，令，即，一次賦值，再累加得，再取對數即可.

試題解析：

（1）令，

若，與已知矛盾，

若，則，顯然不滿足在上恒成立，

若，對求導可得，

由解得，由解得，

∴在上單調遞減，在上單調遞增，

∴， ∴要使恒成立，則須使成立，

即恒成立，兩邊取對數得， ，整理得，即須此式成立，

令，則，顯然當時， ，當時， ，于是函數的上單調遞減，在單調遞增，

∴，即當且僅當時， 恒成立，

∴滿足條件，綜上所述， ．

（2）由（1）知時， ，即恒成立，

令，即，

即，同理， ，

，

，

將上式左右相加得： ，

即，即．