Question

【題目】已知△ABC的三個內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若向量 =（a+c，sinB）， =（b﹣c，sinA﹣sinC），且 ∥ ． （Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）設函數f（x）=tanAsinωxcosωx﹣cosAcos2ωx（ω＞0），已知其圖象的相鄰兩條對稱軸間的距離為 ，現將y=f（x）的圖象上各點向左平移 個單位，再將所得圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2倍，得到函數y=g（x）的圖象，求g（x）在[0，π]上的值域．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）△ABC的三個內角A，B，C的對邊分別是a，b，c， 若向量 =（a+c，sinB）， =（b﹣c，sinA﹣sinC），且 ∥ ，
則（a+c）（sinA﹣sinC）﹣sinB（b﹣c）=0，即（a+c）（a﹣c）=b（b﹣c），
即 b2+c2﹣a2=bc，∴cosA= = ，∴A= ．
（Ⅱ）設函數f（x）=tanAsinωxcosωx﹣cosAcos2ωx（ω＞0）= sin2ωx﹣ cos2ωx=sin（2ωx﹣ ），
已知其圖象的相鄰兩條對稱軸間的距離為 = = ，∴ω=1，
現將y=f（x）=sin（2x﹣ ）的圖象上各點向左平移 個單位，
可得 y=sin（2x+ ）的圖象，再將所得圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2倍，
得到函數y=g（x）=sin（x+ ） 的圖象，
在[0，π]上，x+ ∈[ ， ]，g（x）=sin（x+ ）∈[﹣ ，1]，
即g（x）在[0，π]上的值域為[﹣ ，1]．
【解析】（Ⅰ）利用兩個向量共線的性質求得 b2+c2﹣a2=bc，再利用余弦定理求得cosA的值，可得A的值．（Ⅱ）利用函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規律，求得g（x）的解析式，再利用正弦函數的定義域和值域，求得g（x）在[0，π]上的值域．
【考點精析】本題主要考查了函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換的相關知識點，需要掌握圖象上所有點向左（右）平移個單位長度，得到函數的圖象；再將函數的圖象上所有點的橫坐標伸長（縮短）到原來的倍（縱坐標不變），得到函數的圖象；再將函數的圖象上所有點的縱坐標伸長（縮短）到原來的倍（橫坐標不變），得到函數的圖象才能正確解答此題．