Question

【題目】己知函數f（x）是定義在R上的偶函數，f（x+1）為奇函數，f（0）=0，當x∈（0，1]時，f（x）=log2x，則在區間（8，9）內滿足方f（x）程f（x）+2=f（ ）的實數x為（ ）
A.
B.
C.
D.

Answer 1

【答案】D
【解析】解：∵f（x+1）為奇函數，即f（x+1）=﹣f（﹣x+1），即f（x）=﹣f（2﹣x）． 當x∈（1，2）時，2﹣x∈（0，1），∴f（x）=﹣f（2﹣x）=﹣log2（2﹣x）．
又f（x）為偶函數，即f（x）=f（﹣x），于是f（﹣x）=﹣f（﹣x+2），
即f（x）=﹣f（x+2）=f（x+4），故 f（x）是以4為周期的函數．
∵f（1）=0，∴當8＜x≤9時，0＜x﹣8≤1，f（x）=f（x﹣8）=log2（x﹣8）．
由f（ ）=﹣1，f（x）+2=f（ ）可化為log2（x﹣8）+2=﹣1，得x= ．
故選：D．
由f（x+1）為奇函數，可得f（x）=﹣f（2﹣x）．由f（x）為偶函數可得f（x）=f（x+4），故 f（x）是以4為周期的函數．當8＜x≤9時，求得f（x）=f（x﹣8）=log2（x﹣8）．由log2（x﹣8）+2=﹣1得x的值．