Question

【題目】已知橢圓的左頂點為，右焦點為，直線與軸相交于點，且是的中點.

（Ⅰ）求橢圓的離心率；

（Ⅱ）過點的直線與橢圓相交于兩點，都在軸上方，并且在之間，且到直線的距離是到直線距離的倍.

①記的面積分別為，求；

②若原點到直線的距離為，求橢圓方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②．

【解析】

試題本題以直線與橢圓的位置關系為背景．第（1）小題設計為求橢圓的離心率，只需利用條件是的中點，可得，從而得．第（2）小題中第①題求，需要用等積法進行轉化，即．第②題求橢圓方程，設直線方程為．注意到，和原點到直線的距離為，，從而可以確定，，的值．

試題解析：（1）因為是的中點，所以，即，又、，

所以，所以；

（2）①解法一：過作直線的垂線，垂足分別為，依題意，，

又，故，故是的中點，∴，

又是中點，∴，∴；

解法二：∵，∴，橢圓方程為，，，

設，，點在橢圓上，即有，

同理，

又，故得是的中點，∴，

又是中點，∴，∴；

②解法一：設，則橢圓方程為，

由①知是的中點，不妨設，則，

又都在橢圓上，即有 即

兩式相減得：，解得，

可得，故直線的斜率為，

直線的方程為，即

原點到直線的距離為，

依題意，解得，故橢圓方程為．

解法二：設，則橢圓方程為，

由①知是的中點，故，

直線的斜率顯然存在，不妨設為，故其方程為，與橢圓聯立，并消去得：，整理得：，（*）

設，，依題意： ]

由 解得：

所以，解之得：，即．

直線的方程為，即

原點到直線的距離為，

依題意，解得，故橢圓方程為．