Question

【題目】設,函數.

(1) 若，求曲線在處的切線方程；

(2)求函數單調區間

(3) 若有兩個零點,求證: .

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）見解析

【解析】

分析：（1）求出，由的值可得切點坐標，求出的值，可得切線斜率，利用點斜式可得曲線在點處的切線方程；（2）求出，分兩種情況討論的范圍，在定義域內，分別令，可得函數增區間，，可得函數的減區間；（3）原不等式等價于 令,則,于是，，利用導數可證明，從而可得結果.

詳解：在區間上,.

（1）當時，則切線方程為，即

（2）若,則,是區間上的增函數,

若,令得: .

在區間上, ,函數是增函數;

在區間上, ,函數是減函數;

(3)設

,

原不等式

令,則,于是.（9分）

設函數 ,

求導得:

故函數是上的增函數,

即不等式成立,故所證不等式成立.