Question

【題目】已知函數f（x）=sinx（2 cosx﹣sinx）+1 （Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）討論f（x）在區間[﹣ ， ]上的單調性．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）函數f（x）=sinx（2 cosx﹣sinx）+1

=2 sinxcosx﹣2sin2x+1

= （2sinxcosx）+（1﹣2sin2x）

= sin2x+cos2x

=2（ sin2x+ cos2x）

=2sin（2x+ ），

∴f（x）的最小正周期T= =π；

（Ⅱ）令z=2x+ ，

則函數y=2sinz在區間[﹣ +2kπ， +2kπ]，k∈Z上單調遞增；

令﹣ +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ，k∈Z，

解得﹣ +kπ≤x≤ +kπ，k∈Z，

令A=[﹣ ， ]，B=[﹣ +kπ， +kπ]，k∈Z，

則A∩B=[﹣ ， ]；

∴當x∈[﹣ ， ]時，f（x）在區間[﹣ ， ]上單調遞增，在區間[ ， ]上的單調遞減．

【解析】（Ⅰ）化函數f（x）為正弦型函數，求出它的最小正周期T即可；（Ⅱ）根據正弦函數的單調性，求出f（x）在區間[﹣ ， ]上單調遞增，[ ， ]上的單調遞減．