Question

、設函數，，其中|t|≤1，將f(x)的最小值記為g(t)．   

 (1)求g(t)的表達式；     

 (2)對于區間[－1，1]中的某個t，是否存在實數a，使得不等式g(t)≤成立？如果存在，求出這樣的a及其對應的t；如果不存在，請說明理由．

 

 

Answer 1

【答案】

(1) g(t)＝4t³－3t＋3．

 (2)當t＝－1或時，這樣的a存在，且a＝1，使得g(t)≥成立.

而當t∈(－1，1]且t≠時，這樣的a不存在.

【解析】該題考查函數的求導，以及利用函數的導數判斷函數的單調性進而求出函數的最值，還考查了三角函數的公式的利用，以及恒成立問題．

（1）利用三角函數轉換公式化簡f（x），在用配方法得出函數的最簡式，即可得出函數g（x）的表達式

（2）求出g（x）的導數，畫出表格判斷函數的單調性即可求出函數的最值，g（t）≤ 

成立，即≥g（t）的最大值，求出a的范圍．

解析：(1)

         ．

由(sinx－t)²≥0，|t|≤1，故當sinx＝t時，f(x)有最小值g(t)，即g(t)＝4t³－3t＋3．

 (2)我們有．

列表如下：

t	(－1，－)	－	(－， )		(，1)
g'(t)	＋	0	－	0	＋
G(t)	↗	極大值g(－)	↘	極小值g()	↗

由此可見，g(t)在區間(－1，－)和(，1)單調增加，在區間(－，)單調減小，極小值為g()

＝2，又g(－1)＝－4－(－3)＋3＝2     故g(t)在[－1，1]上的最小值為2

注意到：對任意的實數a，＝∈[－2，2]當且僅當a＝1時，＝2，對應的t＝－1

或，故當t＝－1或時，這樣的a存在，且a＝1，使得g(t)≥成立.

而當t∈(－1，1]且t≠時，這樣的a不存在.