Question

【題目】已知橢圓的右焦點的坐標為，且長軸長為短軸長的倍.橢圓的上、下頂點分別為，經過點的直線與橢圓相交于兩點(不同于兩點).

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線，求點的坐標；

（3）設直線相交于點，求證：是定值.

Answer 1

【答案】（1）（2）的坐標為或.（3）見解析

【解析】

（1）根據題意，可得，，，求出，，即可求得橢圓的方程；

（2）由（1）得出點B的坐標為，設點，根據，得出，與橢圓方程聯立，即可求出點的坐標；

（3）設，，則直線的方程為，與橢圓方程聯立，得到關于的一元二次方程，寫出韋達定理，，分別求出直線和直線的方程，從而求得和的關系式，化簡整理得出，即為定值.

解：（1）根據題意，已知橢圓右焦點的坐標為，且長軸長為短軸長的倍，

得，，，

解得：，，

所以橢圓的方程為：.

（2）由題意得，點的坐標為，設點，

由于經過點的直線與橢圓相交于兩點，

已知，則，所以,

因為，，

則

整理得：，

又，解得：或或（舍去），

所以所求點的坐標為或.

（3）由于經過點的直線與橢圓相交于兩點(不同于兩點)，

設直線的斜率為，可知斜率存在，則直線的方程為，

由題可知，，設，，

由方程組，得，

所以，，

由于直線相交于點，

直線的方程為，得，

直線BM的方程為，得，

所以，

因為，

得，

所以為定值1.