Question

【題目】已知函數f（x）=ax+lnx（a∈R）． （Ⅰ）若a=2，求曲線y=f（x）在x=1處切線的斜率；
（Ⅱ）求f（x）的單調區間；
（Ⅲ）設g（x）=x2﹣2x+2，若對任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由已知 ，則f'（1）=2+1=3． 故曲線y=f（x）在x=1處切線的斜率為3；
（Ⅱ） ．
①當a≥0時，由于x＞0，故ax+1＞0，f'（x）＞0
所以，f（x）的單調遞增區間為（0，+∞）．
②當a＜0時，由f'（x）=0，得 ．
在區間 上，f'（x）＞0，在區間 上f'（x）＜0，
所以，函數f（x）的單調遞增區間為 ，單調遞減區間為 ；
（Ⅲ）由已知，轉化為f（x）max＜g（x）max ，
因為g（x）=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1，x∈[0，1]，
所以g（x）max=2…（9分）
由（Ⅱ）知，當a≥0時，f（x）在（0，+∞）上單調遞增，值域為R，故不符合題意．
當a＜0時，f（x）在（0，﹣ ）上單調遞增，在（﹣ ，+∞）上單調遞減，
故f（x）的極大值即為最大值，f（﹣ ）=﹣1+ln（﹣ ）=﹣1﹣ln（﹣a），
所以2＞﹣1﹣ln（﹣a），解得a＜﹣
【解析】（Ⅰ）把a的值代入f（x）中，求出f（x）的導函數，把x=1代入導函數中求出的導函數值即為切線的斜率；（Ⅱ）求出f（x）的導函數，分a大于等于0和a小于0兩種情況討論導函數的正負，進而得到函數的單調區間；（Ⅲ）對任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），等價于f（x）max＜g（x）max ， 分別求出相應的最大值，即可求得實數a的取值范圍．
【考點精析】關于本題考查的利用導數研究函數的單調性，需要了解一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減才能得出正確答案．