Question

【題目】已知拋物線的焦點為，若過點且斜率為1的直線與拋物線交于 兩點，且.

（1）求拋物線的方程；

（2）若平行于的直線與拋物線相切于點，求的面積.

Answer 1

【答案】(1)；(2)

【解析】

(1)設出AB兩點坐標,根據拋物線性質將AB長度轉化為AB橫坐標的關系式.

設出直線AB方程,聯立拋物線方程,根據韋達定理得到橫坐標和的關系,計算可得答案.

(2)設出直線方程,聯立拋物線方程,由于相切,得到P點坐標.計算得到面積

解：（1）因為過焦點，所以，拋物線的準線方程為，

設點坐標分別是，，

則，

設直線方程為，代入拋物線方程得，

即，則，，所以，

拋物線方程為；

（2）設直線的方程為，與拋物線方程聯立，

消去得：（*），

由直線與拋物線相切得，且，

所以，代入方程（*）得，

所以切點的坐標為，而直線的方程為，

點到直線的距離，

所以的面積.