Question

已知拋物線C：與橢圓共焦點，

（Ⅰ）求的值和拋物線C的準線方程；
（Ⅱ）若P為拋物線C上位于軸下方的一點，直線是拋物線C在點P處的切線，問是否存在平行于的直線與拋物線C交于不同的兩點A，B，且使？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）不存在滿足條件的直線.

試題分析：（Ⅰ）因為拋物線C：與橢圓共焦點，
所以拋物線C：的焦點為（1,0）       （1分）
所以得                                  （3分）
拋物線C的準線方程為                        （4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知拋物線C：
因為 P為拋物線C上位于軸下方的一點，
所以點P滿足 ，                  
所以點處的切線的斜率為 
所以平行于的直線方程可設為             （6分）
解方程組，消去得：，（7分）
因為直線與拋物線C交于不同的兩點A，B，
所以即， （8分）
設，則
， （10分）
所以線段AB的中點為，
線段AB的中垂線方程為    （12分）
由知點P在線段AB的中垂線上
所以   ，               （13分）
又得代人上式得 ，（14分）
而 且，所以無解.
從而不存在滿足條件的直線.                            （15分）
點評：中檔題，曲線關系問題，往往通過聯立方程組，得到一元二次方程，運用韋達定理。本題求拋物線準線方程時，主要運用了橢圓、拋物線的定義及幾何性質。（2）作為研究直線與拋物線相交時弦長的范圍問題，應用韋達定理，建立了k的不等式，進一步使問題得解。