Question

（2012•廣州一模）如圖，長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是正方形，AA₁=2AB=2，E是DD₁上的一點．
（1）求證：AC⊥B₁D；
（2）若B₁D⊥平面ACE，求三棱錐A-CDE的體積；
（3）在（2）的條件下，求二面角D-AE-C的平面角的余弦值．

Answer 1

分析：（方法一）（1）證明AC⊥B₁D，只需證明AC⊥平面BB₁D；
（2）證明A₁D⊥AE，求出DE=

1

2

，從而可求三棱錐A-CDE的體積；
（3）設A₁D∩AE=F，AC∩BD=O，B₁D∩OE=G，連接FG，證明∠DFG是二面角D-AE-C的平面角，由等面積關系求出DG，DF，從而可求二面角D-AE-C的平面角的余弦值．
（方法二）以D為原點，DA、DC、DD₁所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系
（1）證明

DB1

•

AC

=0，可得

DB1

⊥

AC

，從而AC⊥B₁D；
（2）設E（0，0，a），利用B₁D⊥平面ACE，可得

DB1

•

AE

=0，從而可求體積；
（3）平面ADE的一個法向量為

n1

=

DC

=(0，1，0)，面ACE的一個法向量為

DB1

=(1，1，2)，利用向量的夾角公式，即可求二面角D-AE-C的平面角的余弦值．

解答：（方法一）（1）證明：連接AC，則AC⊥BD…（1分），
因為BB₁⊥面ABCD，所以，BB₁⊥AC…（2分），
因為BB₁∩BD=B，所以AC⊥平面BB₁D…（3分），
所以AC⊥B₁D…（4分）．
（2）解：連接A₁D，與（1）同理可知A₁D⊥AE…（6分），
從而

DE

AD

=

AD

AA1

，DE=

1

2

…（7分），
所以VA-CDE=

1

3

×

1

2

×1×

1

2

×1=

1

12

…（8分）
（3）解：設A₁D∩AE=F，AC∩BD=O，B₁D∩OE=G，連接FG，
則AE⊥FG…（9分），所以∠DFG是二面角D-AE-C的平面角…（10分），
由等面積關系知DG=

DO×DE

OE

=

2

3

…（11分），DF=

DA×DE

AE

=

2

5

…（12分），
由（2）知∠DGF=

π

2

，sin∠DFG=

DG

DF

=

5

6

…（13分），
∴cos∠DFG=

6

6

…（14分）．
（方法二）以D為原點，DA、DC、DD₁所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系…（1分）．
（1）證明：依題意，D（0，0，0），A（1，0，0），C（0，1，0），B₁（1，1，2）…（3分），
所以

AC

=(-1，1，0)，

DB1

=(1，1，2)…（4分），
所以

DB1

•

AC

=0，

DB1

⊥

AC

，所以AC⊥B₁D…（5分）．
（2）解：設E（0，0，a），則

AE

=(-1，0，a)…（6分），
因為B₁D⊥平面ACE，AE?平面ACE，所以B₁D⊥AE…（7分），
所以

DB1

•

AE

=0，所以-1+2a=0，a=

1

2

…（8分），所以VA-CDE=

1

3

×

1

2

×1×

1

2

×1=

1

12

…（9分）
（3）解：平面ADE的一個法向量為

n1

=

DC

=(0，1，0)…（10分），
平面ACE的一個法向量為

DB1

=(1，1，2)…（12分），
由圖知，二面角D-AE-C的平面角的余弦值為cosθ=

n1 • DB1

| n1 |•| DB 1 |

=

1

6

=

6

6

…（14分）．

點評：本題考查線線垂直，考查三棱錐的條件，考查面面角，兩法并舉，注意體會．