Question

已知A、B是雙曲線C：

x2

4

-

y2

3

=1的左、右頂點，P是坐標平面上異于A、B的一點，設直線PA、PB的斜率分別為k₁，k₂．
求證：k₁k₂=

3

4

是P點在雙曲線C上的充分必要條件．

Answer 1

證明：設P（x₀，y₀），易知A（-2，0），B（2，0）
（1）充分性：由k₁k₂=

3

4

知：

y0

x0+2

×

y0

x0-2

=

3

4

，
所以3x02-4y02=12，即

x02

4

-

y02

3

=1，
故點P在雙曲線

x2

4

-

y2

3

=1上；
（2）必要性：因為點P在雙曲線C上，
所以

x02

4

-

y02

3

=1，故y02=

3

4

(x02-4)
由已知x₀≠±2，故k₁k₂=

y0

x0+2

×

y0

x0-2

=

y02

x02-4

=

3

4

綜上（1）（2）知k₁k₂=

3

4

是P點在雙曲線C上的充分必要條件．