Question

已知圓C：（x+4）²+y²=4，圓D的圓心D在y 軸上且與圓C外切，圓D與y 軸交于A、B兩點，定點P的坐標為（-3，0）．
（1）若點D（0，3），求∠APB的正切值；
（2）當點D在y軸上運動時，求∠APB的最大值；
（3）在x軸上是否存在定點Q，當圓D在y軸上運動時，∠AQB是定值？如果存在，求出Q點坐標；如果不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知中圓C：（x+4）²+y²=4，點D（0，3），我們易求出CD的長，進而求出圓D的半徑，求出A，B兩點坐標后，可由tan∠APB=k_BP得到結果．
（2）設D點坐標為（0，a），圓D半徑為r，我們可以求出對應的圓D的方程和A，B兩點的坐標，進而求出∠APB正切的表達式（含參數r），求出其最值后，即可根據正切函數的單調性，求出∠APB的最大值；
（3）假設存在點Q（b，0），根據∠AQB是定值，我們構造關于b的方程，若方程有解，則存在這樣的點，若方程無實根，則不存在這樣的點．

解答：解：（1）∵|CD|=5，
∴圓D的半徑r=5-2=3，此時A、B坐標分別為A（0，0）、B（0，6）
∴tan∠APB=k_BP=2（3分）
（2）設D點坐標為（0，a），圓D半徑為r，則（r+2）²=16+a²，A、B的坐標分別為（0，a-r），（0，a+r）
∴kPA=

a-r

3

，kPB=

a+r

3

∴tan∠APB=

a+r 3 - a-r 3

1+ a+r 3 • a-r 3

=

6r

a2-r2+9

=

6r

(r+2)2-16-r2+9

=

6r

4r-3

=

3

2

+

9

8r-6

∵|r+2|²≥16，
∴r≥2，
∴8r-6≥10，
∴

3

2

＜tan∠APB≤

12

5

∴∠APB的最大值為arctan

12

5

．（8分）
（3）假設存在點Q（b，0），由kQA=

a-r

-b

，kQB=

a+r

-b

，得tan∠AQB=|

a+r -b - a-r -b

1+ a+r b • a-r b

|=|

-2br

a2+b2-r2

|
∵a²=（r+2）²-16，
∴tan∠AQB=

2|b|

| b2-12 r +4|

欲使∠AQB的大小與r無關，則當且僅當b²=12，即b=±2

3

，
此時有tan∠AQB=

3

，即得∠AQB=60°為定值，
故存在Q(2

3

，0)或Q(-2

3

，0)，使∠AQB為定值60°．（13分）

點評：本題考查的知識點是直線和圓的方程的應用，其中根據已知中圓C：（x+4）²+y²=4，圓D的圓心D在y 軸上且與圓C外切，圓D與y 軸交于A、B兩點，確定圓D的方程，進而求出A，B的方程是解答本題的關鍵．