Question

如圖，在矩形ABCD中，AB＝2AD＝2，O為CD的中點，沿AO將△AOD折起，使DB＝.

(1)求證：平面AOD⊥平面ABCO；

(2)求直線BC與平面ABD所成角的正弦值．

 

Answer 1

（1）見解析（2）

【解析】(1)證明:∵在矩形ABCD中，AB＝2AD＝2，O為CD中點，

∴△AOD，△BOC為等腰直角三角形，∴∠AOB＝90°，即OB⊥OA.

取AO中點H，連接DH，BH，則OH＝DH＝，

在Rt△BOH中，BH2＝BO2＋OH2＝，

在△BHD中，DH2＋BH2＝2＋＝3，又DB2＝3，

∴DH2＋BH2＝DB2，∴DH⊥BH.

又DH⊥OA，OA∩BH＝H，∴DH⊥面ABCO，而DH?平面AOD，∴平面AOD⊥平面ABCO.

(2)解　分別以OA，OB所在直線為x軸和y軸，O為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則B(0，，0)，A(，0,0)，D，C.

∴＝(－，，0)，＝，＝.

設(shè)平面ABD的一個法向量為n＝(x，y，z)，

由得

即x＝y，x＝z，令x＝1，則y＝z＝1，取n＝(1,1,1)．

設(shè)α為直線BC與平面ABD所成的角，則sin α＝＝.

即直線BC與平面ABD所成角的正弦值為.