Question

某學校餐廳每天供應2000名學生用餐，每周一有A，B兩種菜可供選擇，調查統計表明，凡事在這周一選A種菜的，下周一會有百分之二十改選B；而選B種菜的，下周一會有百分之三十改選A．用a_n，b_n分別表示在第n周星期一選A的人數和選B的人數，且a₁≠1200．
（1）證明：數列{a_n-1200}為等比數列；
（2）若第1周周一選A的人數為1600人，則第5周星期一選A的人數為多少？

Answer 1

（1）由題意，得：a_n+1=0.8a_n+0.3b_n；
因為a_n+b_n=2000，
有a_n+1=600+0.5a_n．
證明：

an+1-1200

an-1200

=

0.5an-600

an-1200

=

1

2

，
又a₁-1200≠0，
則{a_n-1200}是以

1

2

為公比的等比數列．
（2）若a₁=1600，則{a_n-1200}是以400為首項，

1

2

為公比的等比數列，
有an-1200=400•(

1

2

)n-1，
即an=1200+400•(

1

2

)n-1，
有a₅=1225．
答：第5周星期一選A種菜的人數為1225人．