Question

已知函數f(x)＝x³＋x－16．
(1)求曲線y＝f(x)在點(2，－6)處的切線的方程；
(2)直線l為曲線y＝f(x)的切線，且經過原點，求直線l的方程及切點坐標；
(3)如果曲線y＝f(x)的某一切線與直線y＝－x＋3垂直，求切點坐標與切線的方程．

Answer 1

（1）y＝13x－32
（2）直線l的方程為y＝13x，切點坐標為(－2，－26)
（3）切線坐標：（1，-14）（-1，-18）    切線方程：y＝4x－18或y＝4x－14

解：(1)可判定點(2，－6)在曲線y＝f(x)上．
∵f′(x)＝(x³＋x－16)′＝3x²＋1．
∴f′(x)在點(2，－6)處的切線的斜率為k＝f′(2)＝13．
∴切線的方程為y＝13(x－2)＋(－6)，
即y＝13x－32．
(2)設切點為(x₀，y₀)，
則直線l的斜率為f′(x₀)＝3x₀²＋1，
∴直線l的方程為
y＝(3x₀²＋1)(x－x₀)＋x₀³＋x₀－16，
又∵直線l過點(0,0)，
∴0＝(3x₀²＋1)(－x₀)＋x₀³＋x₀－16，
整理得，x₀³＝－8，∴x₀＝－2，
∴y₀＝(－2)³＋(－2)－16＝－26，
k＝3×(－2)²＋1＝13．
∴直線l的方程為y＝13x，切點坐標為(－2，－26)．
(3)∵切線與直線y＝－x＋3垂直，
∴切線的斜率k＝4．
設切點的坐標為(x₀，y₀)，
則f′(x₀)＝3x₀²＋1＝4，
∴x₀＝±1，
∴或
∴切線方程為y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18．
即y＝4x－18或y＝4x－14．