Question

（2009•寧波模擬）若非零向量

AB

，

AC

和

BC

滿足(

AB

| AB |

+

AC

| AC |

)•

BC

=0，且

AC

| AC |

•

BC

| BC |

=

2

2

，則△ABC為（　　）

A．等邊三角形

B．等腰非直角三角形

C．非等腰三角形

D．等腰直角三角形

Answer 1

分析：根據(jù)任意一向量與該向量的模的比值都是單位向量，可得：|

AB

| AB |

| =|

AC

| AC |

| =1，進而得到

AB

| AB |

+

AC

| AC |

在∠BAC的角平分線上（設角平分線為AD），再根據(jù)兩向量的數(shù)量積為0，可得兩向量垂直可得AD與BC垂直，根據(jù)三角形的全等，可得AB=AC，即三角形為等腰三角形，同時由

AC

| AC |

•

BC

| BC |

=

2

2

及|

AB

| AB |

| =|

AC

| AC |

| =1，根據(jù)平面向量的數(shù)量積運算法則可求出C的度數(shù)，進而判斷出三角形的形狀．

解答：解：根據(jù)向量的性質(zhì)可得：|

AB

| AB |

| =|

AC

| AC |

| =1，
∴

AB

| AB |

+

AC

| AC |

在∠BAC的角平分線上（設角平分線為AD），
∵((

AB

|AB|

)+

AC

|AC|

)•

BC

=0，
∴AD⊥BC，
∴AB=AC，即三角形為等腰三角形，
∴∠B=∠C，
又

AC

| AC |

•

BC

| BC |

=

2

2

，且 |

AC

| AC |

|=|

BC

| BC |

|=1，
∴∠C=45°，
∴∠A=90°，
則三角形為等腰直角三角形．
故選C

點評：此題考查了三角形形狀的判斷，涉及的知識有：平面向量的加法的四邊形法則，向量的數(shù)量積的運算，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及等腰直角三角形的判定，熟練掌握平面向量的數(shù)量積運算法則是解本題的關鍵．