Question

【題目】已知函數

(1)討論函數的單調性；

(2)若關于的不等式在[1，＋∞）上恒成立，求實數的取值范圍。

Answer 1

【答案】（1）當時，函數在上單調遞增；當時，函數在上單調遞增，在上單調遞減；（2）.

【解析】

（1）求出函數的導數，通過討論a的范圍，判斷函數的單調性即可；

（2）令h（x）＝lnx+ex﹣2ax+2a﹣e，求出函數的導數，設，根據函數的單調性求出a的范圍即可．

（1）依題意，，

當a≤0時，1﹣2ax＞0，故f（x）＞0；

當a>0時，x=，故當時，f（x）＞0，當時，f'（x）＜0；

綜上：當a≤0時，函數f（x）在(0，+∞）上單調遞增；

當a>0時，函數f（x）在上單調遞增，在上單調遞減；

（2）由題意得，當x≥1時，lnx+ex﹣2ax+2a﹣e≥0恒成立；

令h（x）＝lnx+ex﹣2ax+2a﹣e，

求導得，

設，則，

因為x≥1，所以，所以（x）＞0，

所以φ（x）在[1，+∞）上單調遞增，即h'（x）在[1，+∞）上單調遞增，

所以h（x）≥h（1）＝1+e﹣2a；

①當時，h（x）≥0，此時，h（x）＝lnx+ex﹣2ax+2a﹣e在[1，+∞）上單調遞增，

而h（1）＝0，所以h（x）≥0恒成立，滿足題意；

②當時，h（1）＝1+e﹣2a＜0，

而；

根據零點存在性定理可知，存在x0∈（1，ln2a），使得h（x0）＝0．

當x∈（1，x0）時，h（x）＜0，h（x）單調遞減；

當x∈（x0，+∞）時，h（x）＞0，h（x）單調遞增．

所以有h（x0）＜h（1）＝0，這與h（x）≥0恒成立矛盾，舍去；

綜上所述，實數a的取值范圍為．