Question

已知點F是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的右焦點，點C是該雙曲線的左頂點，過F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A、B兩點，若△ABC是銳角三角形，則此雙曲線離心率的取值范圍是（　　）

• A、（1，2）
• B、（1，+∞）
• C、(2，1+

  2

  )
• D、(1，1+

  2

  )

Answer 1

分析：利用雙曲線的對稱性及銳角三角形∠ACF＜45°得到AF＜CF，求出A的坐標；求出AF，CF得到關于a，b，c的不等式，求出離心率的范圍．

解答：解：∵△ABC是銳角三角形
∴∠ACB為銳角
∵雙曲線關于x軸對稱，且直線AB垂直x軸
∴∠ACF=∠BCF＜45°
∴AF＜CF
∵F為右焦點，設其坐標為（c，0）
所以A（ c，

b2

a

）
所以AF=

b2

a

，CF=a+c
∴

b2

a

＜a+c即c²-ac-2a²＜0
解得 -1＜

c

a

＜2
雙曲線的離心率的范圍是（1，2）
故選A．

點評：本題考查雙曲線的對稱性、考查雙曲線的三參數關系：c²=a²+b²、考查雙曲線的離心率問題就是研究三參數a，b，c的關系．